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技術 微分方程式の数値解を求める方法およびその方法を用いたプログラム

出願人 藤本康
発明者 藤本康
出願日 2003年6月30日 (17年6ヶ月経過) 出願番号 2003-205868
公開日 2005年1月27日 (15年11ヶ月経過) 公開番号 2005-025651
状態 未査定
技術分野 複合演算 CAD
主要キーワード 差分式 オイラー法 最高次数 変数変換 解析解 電力系統解析 時間刻み 数値解
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この項目の情報は公開日時点(2005年1月27日)のものです。
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図面 (9)

課題

台形公式などの差分法微分方程式数値的な解を求める場合、解が周波数の比較的高い成分と低い成分を含むときは、区間分割を高い周波数成分の短い周期波長)に比べて十分小さく設定しなくてはならなかった。そのため低い周波数成分が関与する大きい(広い)領域に関して解を求めるためには非常に大きな計算負荷が必要となるという課題が存在した。

課題を解決するための手段

本発明では上記の従来の方法における課題を解決するための手段として、微分方程式を解く際に、領域を複数の区間に分割し、未知変数をその区間における(離散フーリエ級数により近似する。さらに微分方程式を、未知数の(離散)フーリエ級数の係数間の差分方程式へと変換し、この差分方程式を解くことにより、微分方程式を数値的に解く。

概要

背景

概要

台形公式などの差分法微分方程式数値的な解を求める場合、解が周波数の比較的高い成分と低い成分を含むときは、区間分割を高い周波数成分の短い周期波長)に比べて十分小さく設定しなくてはならなかった。そのため低い周波数成分が関与する大きい(広い)領域に関して解を求めるためには非常に大きな計算負荷が必要となるという課題が存在した。本発明では上記の従来の方法における課題を解決するための手段として、微分方程式を解く際に、領域を複数の区間に分割し、未知変数をその区間における(離散フーリエ級数により近似する。さらに微分方程式を、未知数の(離散)フーリエ級数の係数間の差分方程式へと変換し、この差分方程式を解くことにより、微分方程式を数値的に解く。

目的

効果

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請求項1

微分方程式数値的に解く際に次の処理(i)〜(iv)を持つことを特徴とする方法、その方法を用いた微分方程式の数値解をもとめるプログラム。(i)解を求めたい領域を刻み幅Tを用いて複数の区間【数1】に分割する。(ii)それぞれの区間で、解析の対象となる変数を、フーリエ級数によって近似する(【数2】、【数3】)。ただし、ここでNは1以上の整数、ωはで与えられる。(iii)二つの変数に関係が存在するとき、ステップ(ii)で表したフーリエ級数の間になる関係式が存在するとして微分方程式を差分化する。ただし、ここでである。hnは前の区分までの解に由来する履歴項である。また右肩の*は転置をあらわす。(iv)(iii)で求めた関係式を順次解くことにより微分方程式の数値解をもとめる。

請求項2

電気回路過渡現象を数値的に解く際に次の処理(i)〜(vii)を持つことを特徴とする方法、およびその方法を用いた電気回路の過渡現象を数値的に解くプログラム。(i)解を求めたい時間を時間刻みTにより区間【数1】に分割する(xは時間を表す)。(ii)それぞれの区間において、回路電気的な諸量(電圧電流など)をその区間におけるフーリエ級数の係数により近似する。(【数2】、【数3】)(iii)個々の電気回路の素子の2つの諸量の間に関係【数5】が存在するとき、ステップ(ii)で表したフーリエ級数の間に【数6】、【数7】で表される関係式が存在するとして微分方程式を差分化する。ただし、【数6】、【数7】で使用されるFn、Gn、A、Kは【数8】、【数9】、【数10】、【数11】により与えられる。hnは前の区分までの解に由来する履歴項である。(iv)適切な初期化方法により開始時間刻みにおける個々の電気素子に対する履歴項hnをもとめる。(v)(iii)により求められた差分式と履歴項hnを用いて、個々の電気素子の両端間の電圧が素子を流れる電流がにより与えられるとき、その関係を、仮想的なアドミタンスGとそれに並列電流源を用いてによる等価回路により表現する。ここでである。(vi)解析しようとする電気回路中のすべての素子を(v)の方法で等価回路として表現した後、その時間刻みについて回路の各ノードの電圧を求める。ここでノードの電圧はとして与えられる。(vii)(vi)にて求まった回路のノード電圧を使用し、各電気素子の履歴項hnの次の時間区分における値を求め、時間刻みを一つ進める。その後(v)へ戻る。

請求項3

微分方程式を数値的に解く際に次の処理(i)〜(iv)を持つことを特徴とする方法、その方法を用いた微分方程式の数値解をもとめるプログラム。(i)解を求めたい領域を刻み幅Tを用いて複数の区間【数1】に分割する。【数1】(再掲)象となる変数を、離散フーリエ級数によって近似する(【数20】、【数21】)。Tn,mはで与えられる。(iii)二つの変数に関係【数5】(再掲)が存在するとき、ステップ(ii)で表したフーリエ級数の間になる関係式が存在するとして微分方程式を差分化する。ただし、ここでである。hDnは前の区分までの解に由来する履歴項である。(iv)(iii)で求めた関係式を順次解くことにより微分方程式の数値解をもとめる。

請求項4

電気回路の過渡現象を数値的に解く際に次の処理(i)〜(vii)を持つことを特徴とする方法、およびその方法を用いた電気回路の過渡現象を数値的に解くプログラム。(i)解を求めたい時間を時間刻みTにより区間【数1】に分割する(xは時間を表す)。路の電気的な諸量(電圧、電流など)をその区間における離散フーリエ級数の係数により近似する。(【数20】、【数21】、【数22】、【数23】)(iii)個々の電気回路の素子の2つの諸量の間に関係【数5】が存在するとき、ステップ(ii)で表した離散フーリエ級数の間に【数24】、【数25】で表される関係式が存在するとして微分方程式を差分化する。ただし、【数24】、【数25】で使用されるFDn、GDn、AD、KDは【数26】、【数27】、【数28】、【数29】により与えられる。hDnは前の区分までの解に由来する履歴項である。(iv)適切な初期化方法により開始時間刻みにおける個々の電気素子に対する履歴項hDnをもとめる。(v)(iii)により求められた差分式と履歴項hDnを用いて、個々の電気素子の両端間の電圧が素子を流れる電流がにより与えられるとき、その関係を、仮想的なアドミタンスGDとそれに並列な電流源を用いてによる等価回路により表現する。ここでである。(vi)解析しようとする電気回路中のすべての素子を(v)の方法で等価回路として表現した後、その時間刻みについて回路の各ノードの電圧を求める。ここでノードの電圧はとして与えられる。(vii)(vi)にて求まった回路のノード電圧を使用し、各電気素子の履歴項hnの次の時間区分における値を求め、時間刻みを一つ進める。その後(v)へ戻る。

請求項5

請求項1、請求項3の方法において最高次数高調波以外の成分のうち一つもしくはいくつかを0と仮定し、縮小した行列ベクトルを用いて、微分方程式を解く方法、及びその方法を用いた微分方程式の数値解をもとめるプログラム。

請求項6

請求項2、請求項4、の方法において最高次数の高調波以外の成分のうち一つもしくはいくつかを0と仮定し、縮小した行列、ベクトルを用いて、電気回路の過渡現象を数値的に解く方法、およびその方法を用いた電気回路の過渡現象を数値的に解くプログラム。

請求項7

請求項1、請求項2、請求項3、請求項4、請求項5、請求項6の方法、プログラムについて(離散)フーリエ級数を並べたベクトルに対して、逆行列をもつ行列を乗じて、変換を施したもの。

請求項8

請求項1、請求項2、請求項3、請求項4、請求項5、請求項6、請求項7の方法、プログラムについて【数1】で表される区分をシフトさせて適用したもの。

【発明の属する技術分野】
本発明は微分方程式数値的に解く技術の一つである。特に、解となる変数がある周波数近傍の成分を特に多く含むことが判明していて、解のその周波数周辺の成分を効率的に求めつつも、他の周波数成分も考慮に入れたいときに有効である。
【従来の技術】
微分方程式の数値的に解く代表的な方法として、台形公式前進積分法、バックワードオイラー法などの差分法がある。電気回路が満たすべき微分方程式を、台形公式を用いて数値的に解き、その過渡現象解析するプログラムとしてEMTP(参考文献H.W.Dommel,”Nonlinear and time−varying elements in digital simulation of electromagnetic transients”,IEEE Power App.Syst.,Vol.PAS−90,pp.2561−2567,June 1971)が有名である。
また、微分方程式を一定の条件の下で数値的に解く別の方法として次のようなものがある。求めようとする変数の解が有る周波数成分(基本周波数)を非常に多く含み、解析の対象が主にその周波数近傍成分に限定されるときは、解がその周波数の成分の波で表されると仮定し,その振幅位相の変化すると仮定して、解を求める方法が存在する。このような方法の例として、電力系統解析における動的安定度解析をあげることができる。電力系統は電気回路として表現され、電気回路の満たすべき方程式はもともと微分方程式で表されるわけであるから、これらの解法は、もともとの微分方程式を特殊な条件の下に解いていると考えられる。
【発明が解決しようとする課題】
台形公式などの差分法で微分方程式の数値的な解を求める場合,解が周波数の比較的高い成分と、低い成分を含むとき(Stiffな系と呼ばれる)は区間分割を、高い周波数成分の短い周期波長)に比べて十分に小さく設定しなくてはならなかった。そのため低い周波数成分が関与する大きい(広い)領域に関して解を求めるためには非常に大きな計算負荷が必要となるという課題が存在した。
一方、電力系統解析における動的安定度解析では、解がある周波数の波(基本周波数)で近似されることを前提に方程式が構成されている。そのため,方程式の解がその周波数以外の成分を含むような場合は、求まる解の精度が悪化するという問題点があった。また、解析精度を上げることを目的として、区分時間刻み)を細かくすることも試みられているが、前提として解が基本周波数成分により表されるため、区分を基本周波数の波長(周期)以下に縮めても、その精度が上がるとは限らないという課題が存在した。
【課題を解決するための手段】本発明では上記の従来の方法における課題を解決するための手段として、微分方程式を解く際に、領域を複数の区間に分割し、未知の変数をその区間における、(離散フーリエ級数により近似する。さらに微分方程式を、未知数の(離散)フーリエ級数の係数間の差分式へと変換し、この差分式を解くことにより、微分方程式を数値的に解く。
【発明実施の形態】
【実施例1】
yに関する微分方程式
【数38】

初期条件
【数39】

のもとで領域
【数40】

について本発明を用いて数値的に解く。
微分方程式を解くためにxを、区分幅1を用いて区分
【数41】

を考え、それぞれの区分において、y,uを
【数42】

【数43】

のようにフーリエ級数で近似する。またこれらの係数を並べてベクトル
【数44】

【数45】

を考える。
微分方程式
【数38】は本発明により次の差分方程式へと置き換えられる。
【数46】

【数47】

ここで初期条件は
【数48】

であり、Unは
【数49】

となる。また係数A,Kは
【数50】

【数51】

により与えられる。
【数46】は
【数52】

と変換できるのでこれを
【数47】と併せて用いると、順次Ynを求めていくことができる。
得られた数値解
【表1】に示す。
この数値解をグラフで表すと
図1】の様になる。このなかで、実線が求まった本発明による方法で求まった数値解を
【数42】を適用してグラフに描いたものである。点線が微分方程式
【数42】を解析的に解いて求まる解をグラフを描いたものである。グラフから得られた数値解が妥当なものであることが判別できる。
【実施例2】
図3】のような回路の過渡現象を考える。ここで回路のパラメータとして
【数53】

【数54】

【数55】

とし、初期条件として
【数56】

とする。
過渡現象を解くためにxについて区分幅1を用いた区分
【数57】

を考える。また回路を流れる電流i(x)とノードQの電圧vQ(x)は
【数58】

【数59】

により近似されるとする。
インダクタンスの電流と電圧の間にはv(t)の間には
【数60】

なる関係が成立する。この関係式は本発明の方法により差分方程式
【数61】

【数62】

に変換される。ただし
【数63】

【数64】

【数65】

【数66】

である。
【数61】によりインダクタンスは仮想的な区分Tnにおいて
【数67】、
【数68】により与えられる仮想的なアドミタンスGLとそれに並列な仮想的電流源Hnにより表される。
【数67】

【数68】

一方回路網方程式はノードQから流れ出る電流の合計が0であることを利用すると
【数69】

を得る。したがって各区分TnにおいてVEn、Hnが与えられれば
【数70】

によりVQnを求めることができる。GRは
【数71】

である。
過渡現象の数値解は次の手続き(iv)〜(vii)を実施することにより順次求められる。
(iv)n=0とし、初期条件よりhn=0とする。
(v)
【数68】からHnを求める。
(vi)問題の条件
【数53】から
【数72】

であるので、
【数70】を使用してVQnを計算する。
(vii)
【数62】を使用してhn+1を計算する。nを一つ増加させ(v)へ戻る。
実際に数値計算を実施して求まった数値解を
【表2】に示す。
【実施例3】
yに関する微分方程式
【数73】

を初期条件
【数74】

のもとで領域
【数75】

について本発明を用いて数値的に解く。解を求める領域を刻み幅T=1を用いて
【数76】

に分割する。請求項3の中で使用されている変数P,Mについてそれぞれ1,60として各区分の中でy(x)を離散フーリエ級数によって近似する。
【数77】

ここでθ、Tn,mは
【数78】

【数79】

とする。
離散フーリエ級数を並べてベクトル
【数80】

を考えると、本発明により微分方程式
【数73】は差分方程式
【数81】

【数82】

へと変換できる。
ここで初期条件は
【数83】

であり、Unは
【数84】

となる(u(x)を
【数79】の領域で平均して求まる値に対して、離散フーリエ級数を求める)。また係数AD,KDは
【数85】

【数86】

により与えられる。
【数81】は
【数87】

と変換できるので、これを
【数82】と併せて用いると、順次YDnを求めていくことができる。数値計算を実施して求まった数値解を
【表3】に示す。
【実施例4】
図3】のような回路の過渡現象を考える。ここで回路のパラメータとして
【数53】(再掲)

【数54】(再掲)

【数55】(再掲)

とし、初期条件として
【数56】(再掲)

とする。
過渡現象を解くためにxについて区分幅1を用いた区分
【数57】(再掲)

を考える。さらに本発明で使用するパラメータM,Pをここでは60,1と選んで
【数79】(再掲)

とする。
回路を流れる電流i(x)とノードQの電圧vQ(x)は
【数88】

【数89】

により近似する。
インダクタンスの電流と電圧の間にはv(t)の間には
【数60】(再掲)

なる関係が成立する。この関係式は本発明の方法により差分方程式
【数90】

【数91】

に変換される。ただし
【数92】

【数93】

【数94】

【数95】

である。
【数90】によりインダクタンスは仮想的な区分Tnにおいて
【数96】、
【数97】により与えられる仮想的なアドミタンスGLとそれに並列な仮想的電流源Hnにより表される。
【数96】

【数97】

一方回路網方程式はノードQから流れ出る電流の合計が0であることを利用すると
【数98】

を得る。したがって各区分TnにおいてVEDn、HDnが与えられれば
【数99】

によりVQnを求めることができる。GRDは
【数100】

である。
過渡現象の数値解は次の手続き(iv)〜(vii)を実施することにより順次求められる。
(iv)n=0とし、初期条件よりhDn=0とする。
(v)
【数97】からHDnを求める。
(vi)問題の条件
【数53】から
【数101】

であるので、
【数99】を使用してVQDnを計算する。
(vii)
【数91】を使用してhDn+1を計算する。nを一つ増加させ(v)へ戻る。
実際に数値計算を実施して求まった数値解(IDn)を
【表4】に示す。IDn,−1はIDn,1に複素共役なので表からは省略してある。
【実施例5】
yに関する微分方程式
【数102】

を初期条件
【数103】

のもとで領域
【数104】

について本発明を用いて数値的に解く。解を求める領域を刻み幅T=10を用いて
【数105】

に分割する。それぞれの区分において、y,uを
【数106】

【数107】

のようにフーリエ級数で近似する。またこれらの係数を並べてベクトル
【数108】

【数109】

を考える。
微分方程式
【数102】は本発明により次の差分方程式へと置き換えられる。
【数110】

【数111】

ここで初期条件は
【数112】

であり、Unは
【数113】

となる。また係数A,Kは
【数114】

【数115】

により与えられる。
【数110】は
【数116】

と変換できるのでこれを
【数111】と併せて用いると、順次Ynを求めていくことができる。
得られた数値解を
【表5】に示す。
【実施例6】
図3】のような回路の過渡現象を考える。ここで回路のパラメータとして
【数117】

【数118】

【数119】

とし、初期条件として
【数120】

とする。
過渡現象を解くためにxについて区分幅10を用いた区分
【数121】

を考える。また回路を流れる電流i(x)とノードQの電圧vQ(x)は
【数122】

【数123】

により近似されるとする。
インダクタンスの電流と電圧の間にはv(t)の間には
【数124】

なる関係が成立する。この関係式は本発明の方法により差分方程式
【数125】

【数126】

に変換される。ただし
【数127】

【数128】

【数129】

【数130】

である。
【数125】によりインダクタンスは仮想的な区分Tnにおいて
【数131】、
【数132】により与えられる仮想的なアドミタンスGLとそれに並列な仮想的電流源Hnにより表される。
【数131】

【数132】

一方回路網方程式はノードQから流れ出る電流の合計が0であることを利用すると
【数133】

を得る。したがって各区分TnにおいてVEn、Hnが与えられれば
【数134】

によりVQnを求めることができる。GRは
【数135】

である。
過渡現象の数値解は次の手続き(iv)〜(vii)を実施することにより順次求められる。
(iv)n=0とし、初期条件よりhn=0とする。
(v)
【数132】からHnを求める。
(vi)問題の条件
【数117】から
【数136】

であるので、
【数134】を使用してVQnを計算する。
(vii)
【数126】を使用してhn+1を計算する。nを一つ増加させ(v)へ戻る。
実際に数値計算を実施して求まった数値解を
【表6】に示す。
【実施例7】
請求項1の方法において
【数137】

【数138】

なる変数変換を施すことを考える。ここでWは例として

により与える。すると、
【数6】、
【数7】はそれぞれ
【数139】

【数140】

と変換される。ただし、
【数141】

【数142】

【数143】

である。得られたこれらの差分式を用いて微分方程式を解く方法は実施例1と同様である。
【実施例8】実施例1の方法で
【数144】

【数145】

とする。
【数146】

【数147】

【数148】

【数149】

とすれば
【数150】

【数151】

【数152】

となり差分方程式
【数6】、
【数7】はそれぞれ
【数153】

【数154】

と変換される。ただし、
【数155】

【数156】

【数157】

である。得られたこれらの差分式を用いて微分方程式を解く方法は実施例1と同様である。
【発明の効果】微分方程式の解となる変数がある周波数近傍の成分を特に多く含むことが判明していている場合に、本発明により、解のその周波数周辺の成分を効率的に求めつつも、他の周波数成分も考慮に入れて効率的に数値的に解くことができる。
【図面の簡単な説明】
図1】実施例1の結果得られた数値解をグラフ化したもの
図2】実施例1の結果得られた数値解
図3】過渡現象を数値解析する回路例
図4】実施例2の結果得られた数値解
図5】実施例3の結果得られた数値解
図6】実施例4の結果得られた数値解
図7】実施例5の結果得られた数値解
図8】実施例6の結果得られた数値解
【符号の説明】
1−1は本発明による数値解をグラフ化したもの
1−2は解析解
2−1は実施例1の解析結果
3−1は電圧源
3−2は抵抗
3−3はインダクタンス
4−1は実施例2の解析結果
5−1は実施例3の解析結果
6−1は実施例4の解析結果
7−1は実施例5の解析結果
8−1は実施例6の解析結果

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